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简介经常可以听到人们讨论外汇市场中不同货币之间的关系。
讨论的要点通常归结为基本因素、实践经验或纯粹的推测，均来自说话者的个人成见。一种或多种‘全球’货币‘拖动’所有其他货币，这种假设可以认为是一种极端情形。
而各种报价之间的关系本质，究竟是什么呢？它们的走势是协同呢？还是一种货币的走势跟其他货币的走势截然无关？本文描述了如何使用非线性动力学和分形几何方法解决该问题。
1.理论部分1.1.依赖和独立变量我们来看两个变量（报价）x和y。在任意时点上，这些变量的同步值在XY-平面上确定了一个点。点随时间运动形成了轨迹。这种轨迹的形态和类型将取决于变量之间的关系类型。
图1平面上的点
例如，如果变量x跟变量y没有关系，你就会看到不规则的结构——只要数量足够，点就会在XY-平面上均匀分布。
图2没有关联——均匀分布在平面上
如果x和y之间存在关系，就会出现规则的结构，在最简单的情况下出现一条曲线（图3）。
图3存在关联——曲线
或更加复杂的结构（图4）。
图4存在关联——平面上的结构
三维和多维空间中的特征相同：如果所有的变量相互关联或相互依赖，这些点会形成一条曲线（图5），如果一组内有两个独立变量，这些点会形成一个面（图6），在三个独立变量的情况下，这些点会填充这个三维空间。
图5三维空间中的曲线
图6三维空间中的面
如果变量之间没有关系，这些点就会均匀分布在所有可用维数内（图7）。这样，我们就可以用点填充空间的方式来描述变量之间的关系本质。
图7没有关联——点在空间均匀分布
生成的结构形态（线、面和三维形状等）在本例中并不重要。
重要的是结构的分形维数：1用于描述线的集合，2用于描述面的集合，3用于描述体的集合等等。通常认为，分形维数值对应着数据集内独立变量的数量。
我们也会遇到比如1.61或2.68的分形维数。如果生成的结构是一个分形，即非整数维数的自相似集，可能就是这种情况。图8中给出了一个分形示例，其维数约为1.89，即不再是一条线（维数1）或者一个面（维数2）。
图8谢尔宾斯基地毯
同一个集的分形维数在不同的比例下可能不同。
例如，如果从远处看图9的集，可以清晰的看到一条线，即给定集的分形维数为1。‘近距离’观察同一个集会发现它不再是一条线，而是一个‘模糊的管道’，其中的点没有形成一条清晰的线，而是以随机的方式聚集在线的周围。该‘管道’的分形维数应等于我们考虑的结构中的空间维数，因为‘管道’中的点会均匀分布在所有可用维数内。
在较小比例下分形维数的增加可以估算维数，由于随机噪音的出现，该维数下变量之间的关系变得无法识别。
图9分形‘管道’的示例
1.2.估算分形维数
可以使用盒维数方法估算分形维数，该方法基于对盒子数量的依存度分析，其中盒子数量包含了盒子边长上点集中的点（盒子不一定是三维的——在一维空间中‘盒子’可以用一条线段表示，二维空间中用正方形表示，等等）。
理论上，这种依存度由N(ε)~1/εD给出，其中D是点集的分形维数，ε是盒子的边长，N(ε)是包含点集中的点且边长为ε的盒子数量。它可以估算分形维数。
简单而言，算法运行的描述如下：
将给定的点集分解为边长为ε的盒子，且计算至少包含点集中一个点的盒子的数量N。
对于各种ε，分别确定相应的N值，也就是说，我们积累数据以绘制依存度N(ε)。
依存度N(ε)绘制在双对数坐标上，其中依存度的斜率对应分形维数的数值。
例如，图10显示了两个点集：平面图形（a）和线（b）。包含点集的点的格子由灰色填充。计算具有不同格子大小的‘灰色’格子数量，得到图11中显示的依存度。接近这些依存度的直线的斜率有助于估算分形维数：Da≈2,Db≈1.
图10测量点集
在实践中通常使用Grassberger-Procaccia算法而不是计盒维数法来估算分形维数，因为这样可以在多维空间内得到更加精确的结果。该算法的理念是获得一个点集内两个点进入一个边长为ε的格子的概率的依存度，并确定该依存度的线性部分的斜率。
不幸的是，限于本文的范围，无法涉及估算分形维数的所有方面。如果需要更多信息，请查阅专业文献。
图11估算点集的分形维数
1.3.估算分形维数示例
为了验证所述方法的效果，我们为图9所示点集确定噪音水平和独立变量的数量。这个三维点集包含个点，表现为一条具有叠加噪音的线（一个独立变量）。噪音为正态分布，均方根误差为0.01。
图12展示了对数标度下的依存度С(ε)。有两个线性部分相交于ε≈2-4.6≈0.04。第一条线的斜率≈2.6，第二条线的斜率≈1.0。
得到的结果显示，测试集在大于0.0的标度上只有一个独立变量，在小于0.04的标度上有‘接近三个’独立变量或叠加噪音。这跟初始数据非常吻合：根据三标准差规则，99.7%的点形成了一个直径为2*3*0.01≈0.06的‘管道’。
图12对数标度下的依存度C(e)
2.实践部分2.1.初始数据对外汇市场分形特性的研究采用了从年到年（含年和年）期间的公开数据。对七个主要货币对的收盘价进行了研究：EURUSD、USDJPY、GBPUSD、AUDUSD、USDCHF、USDCAD、NZDUSD。
2.2.实施估算分形维数的算法是基于MichaelSmall博士的开发，以MATLAB环境函数的形式实现。
为了加快计算，最耗时的部分使用C语言编写。在开始之前，使用MATLAB命令“mexinterbin.c”编译C语言函数“interbin.c”。
2.3.研究结果图13显示了年到年期间EURUSD和GBPUSD价格的联动情况。价格值如图14和15所示。
图13年到年期间EURUSD和GBPUSD价格的联动情况
图14年到年的EURUSD价格图表
图15年到年的GBPUSD价格图表
图13所示点集的分形维数约等于1.7（图16）。这表明EURUSD+GBPUSD的变动并非是‘纯’随机游动，否则其维数应等于2（在两维和多维空间中随机游动的维数始终等于2）。
但是，由于价格变动跟随机游动非常相似，我们无法根据它们分析价格值——当添加新的货币对时，分形维数变化并不明显（表1），无法得出任何结论。
货币对EURUSDGBPUSD+USDJPY+AUDUSD+USDCHF+USDCAD+NZDUSD维数1.71.91.91.91.91.9表1货币数量增加时的维数变化
图16估算的分形维数
为了获得更加有趣的结果，我们应该从报价转到报价的变化。
表2中提供了不同增量间隔和不同货币对数的维数值。
日期点数EURUSDGBPUSD+USDJPY+AUDUSD+USDCHF+USDCAD+NZDUSDM年8月14号——年12月31号.92.83.74.45.36.2M年11月18号——年12月31号.83.74.55.96.7M年11月16号——年12月31号.83.74.55.76.8H1年1月03号——年12月31号.93.84.65.66.5H4年1月03号——年12月31号.85.96.3D1年1月03号——年12月31号.15.76.5表2在不同增量间隔下的维数变化
如果货币相互关联，随着每次添加新的货币对，分形维数应该增加的越来越不明显，最终得到一个特定值，该值将确定外汇市场上‘自由变量’的数量。
如果我们另假设价格上叠加‘市场噪音’，则所有可用的维数都可能在较短的时间范围（М5、М15和М30）上充满了噪音，而且这种效果应该在‘反映’报价之间依存度的较长时间范围上减弱（如测试示例）。
如表2所示，该假设未经实际数据确认：点集中的点在所有时间范围上分布在所有可用维数内，也就是说，所有的货币都彼此独立。
这跟对货币关系的直觉假设有些冲突。关系密切的货币，例如GBP和CHF，或者AUD和NZD，似乎应该表现出相似的动态。例如，图17显示了NZDUSD和AUDUSD在M5（相关系数为0.54）以及D1时间范围上的增量依存度（相关系数为0.84）。
图17NZDUSD和AUDUSD在M5（0.54）和D1（0.84）时间范围上的增量依存度
从图中可以看出，随着间隔增加，依存度变得对角拉伸越来越大，相关系数值也随之上升。但是，对于分形维数而言，噪音水平过高，不能将这种依存度视为一条一维线。更长间隔（周、月）上的分形维数可能会收敛到一个特定值，但我们没有工具对其检查，因为没有足以估算维数的点数。
总结将货币变动限定到一个或多个独立变量上，以显著简化重新构建市场吸引子和预测价格的任务，将会更加有趣。但是市场产生了不同的结果：依存度非常不明显，“深深的隐藏”在大量的噪音中。在这方面，市场是非常有效的。
对于已经在医学、物理、化学、生物和其他领域产生稳定良好结果的非线性动力学方法，在用于市场价格分析时需要特别注意和谨慎解读结果。
获得的结果没有明确表明货币之间存在或不存在关系。我们只能说，在给定时间范围上的噪音水平跟关系的‘强度’相当，所以货币之间关系的问题仍悬而未决。
本文译自MetaQuotesSoftwareCorp.撰写的俄文原文原文白癜风的病因北京治疗白癜风专科医院在哪