分形丨Fractal
分形理论可以说是21世纪最炙手可热的理论基础，从天体物理、流体力学、生物学、材料学到经济学、社会学、视觉艺术、音乐等几乎所有层面。美国物理学家惠勒老师说了：以后谁不了解分形理论，谁就不能称为科学的文化人。这句话太狠，我听后有一种急迫感，简直不好意思出门和人扯闲天儿。当初步研究后发现，一个看起来如此神秘复杂的理论，其原理是如此简洁美丽，不管你是数学、物理还是哲学、艺术爱好者，都会觉得爽。
▎谈分形理论之前我们先来看几张图片，免得看见理论两个字，一部分人兴奋，而另一部分人则直接取关了。
它们都基于所谓的曼德博罗特集合[Mandlbrot]得出——人类有史以来作出的最奇异瑰丽的几何图形。它同时被誉为上帝的指纹或魔鬼的聚合物,人们总是喜欢对自己不能解释的东西冠上神鬼的前缀，比如“魔鬼的步伐”。
标准曼德博罗特集丨Mandlbrot
▎这些图形有一个共同的特性：自相似性。
如果将分形图形的局部不断放大并进行观察，将发现精细的结构，如果再放大，就会出现更精细的结构，而且与原尺度图形有相似的规律，层出不穷永无止境。
▎以上只是分形理论最直观的图形展示。事实上我们对分形并不陌生。
比如，在没有建筑物或其他东西作为参照物时，你打开谷歌卫星地图，公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线看起来都差不多，一样的具有无限微妙的变化，却又呈现出一种特定形式。具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、粒子的布朗运动、树冠、花菜、大脑皮层、雪花的结构……它可作为谈资的应用之广泛，比如下雪、爬山、看海、路边的一棵树、一株蒲公英、甚至一粒沙你都能扯到分形理论上来提升自己biggr，真是居家旅行把妹神器。当然前提是你要耐心看完这篇不算短的文章。最近下着雪呢，别说我没提醒你。
▎相信在这个深度，大多数人已经开始出门装逼了，但是，我们的目标不是装逼对不对？我们的目标是装逼而不被揭穿。那么除了认得几张图和几个名词以外，我们还要了解其中的数学原理。
▎年，美国数学家曼德博罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形[fractal]，此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frang[破碎、产生无规碎片]，英文的fraction[碎片、分数]及fragmnt[碎片]词根也来源于此。他于年出版了关于分形几何的专著《分形、机遇和维数》，在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。
▎看着曼德博罗特集的图形,你会意识到这和我们在中学学过的几何很不同，它是非线性、非欧几里得几何的。
▎但在古典几何里，其实也能看到分形几何的身影。比如koch曲线，瑞典数学家科赫年发表，也叫做科赫雪花曲线，因为和雪花放大结构类似。（英语发音一样，请不要写成cock）
从这个动画里我们可以看出，Koch曲线是由一个基本的形，然后无限地按原结构分裂得出，可以想象它无限地细分下去，那么它的长度，在这个越来越细小直到超过肉眼识别的图形中，是无穷的。它超越了古典几何的“线”这个一维概念，但是它又不是一个面（二维），如果按古人所说，这就是一个悖论。
▎但即便是一个不懂数学的现代人，也知道存在无限的小数，世界不是0、1、2、3这么简单。因此如果我们把koch曲线的维度定义为“分数”那么一切都变得合理了，它的维度约等于1.26，它既不是可测量的线段（大于1维），又不是有闭合固定面积的面（小于二维）。这里的维度不是前段时间星际穿越热炒的四维空间（将时间算作一个维度），而是指几何意义上的。
▎到这里为止，我们明白了分形与古典几何的根本区别正在于它的维度不是自然数，也就有了无限迭代的可能性。但是看起来还是以线段、三角形、矩形等几何图形为基础的，那曼德博罗特集这样有机的像血管又像星空的图案是怎么出现的呢？
请看下图，当细分次数达到一定以上，图形看起来就平滑了，已经有点曼德博罗特集的影子了，不过仍然是以折线形式出现。
▎首先，分形具有随机性，我们用数学来描述它就是想尽可能地减小这种随机性，科赫曲线的取值都是在一个自相似变化的集合中取值，比如y=x，或y=2x+3（函数图像是一条直线）.如果一个函数取值的范围本身就是一个复变函数，那么得出的函数图像，也就更复杂、广泛，充满了可变性。比如曼德博罗特集就来自一个看起来很简单的迭代公式：
其中的Z可以是任意函数，在网上搜索分形,出现频率最高的就是曼德博罗特集和朱利亚集两种,其实后者就是前者在C取值不同的情况下得到的不同表达，而朱利亚集合自身也是一个无限的分形。
▎下面的图形显示出不同的朱利亚集（周围8个小图）。它们分别对应于曼德勃罗集（中间的大图）中不同的点，也就是不同取值的结果。
▎而不同的颜色其实是一种函数表达。比如把某一个数值区间与一个颜色对应，当取值是复杂多变的，不止是自然数，那出现的就是迷幻的如星空一般的随机渐变色彩。
由软件编程计算得出的分形图
▎分形的应用非常广泛，它建立在递归的基础上，而递归自古以来就令人着迷。比如从小大家应该都听过一个故事叫做：“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚在给小和尚讲故事，讲的什么呢，讲的是：从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚……”这个无限下分的形式就可以算作递归，还包括盗梦空间里的梦中梦中的梦……这些在精神层面上，也算是广义的分形。
▎有一种理论即首先将银河系比作最基本的结构，其构成元素就是一个个星星，这些星星集中起来形成涡旋状的银河，涡旋状的银河本身又变成构成元素，从而形成更大的涡旋状宇宙，也许再进入上一层，又由这些低层宇宙作为构成元素进一步形成更加大的高层宇宙。
▎从另一个极端小的结构上来说，电子与原子核的运动模型，不正和天体运行模型相似吗？这样重复相同规则的无限结构就表示了层次宇宙论所指的宇宙结构。如果这个理论是正确的话，宇宙本身就是一个最大的分形。
▎我所理解的佛教所谓“须弥藏芥子，芥子纳须弥”说的正是世界宏观与微观的分形关系。英国诗人布莱克的诗，和佛经上的偈语表达了同样的哲学意义。也许分形理论正是宇宙奥义之一，即便不是，单知道它美就够了。
Tosaworldinagrainofsand
一粒沙中看世界
Andahavninawildflowr
一朵花中见天堂
Holdinfinityinthpalmofyourhand
一手掌握无限大
Andtrnityinanhour
永恒不比片刻长
冗长的原理部分结束了，这个主题实在太大，在写的过程中，我无数次想要跑偏去聊混沌理论，又碍于自己的能力和知识有限，只能点到为止，之后的下半部分想要分享一些分形在视觉艺术、音乐等方面的美妙表现，包括一些制作分形图的软件介绍。
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